不定積分の計算例をいくつか挙げます。
実際に計算をする時の考え方、考えていることを
なるべく詳しく書きますので、参考になれば幸いです。
問題１
次の不定積分を計算してください。
$$ \int 7dx $$
ｘで微分すると７になるものを答えればいいのでした。ｘで微分すると１になるものはｘであることを思い出し、さらに微分の計算で定数倍はそのままで
ｘの式を微分すればよかったのですから、７ｘがふさわしいとわかります。実際、７ｘをｘで微分すると７になります。
答 $$ \int 7dx =7x +C \ (Cは積分定数)$$
問題２
次の不定積分を計算してください。
$$ \int 3t dt $$
tで微分して３ｔになるものを探します。このとき、定数倍の３はいったん置いておいて（放っておいて）微分してｔが現れるものを探します。すると、ｔの２乗が思い出されます。ただｔの２乗と
答えると、微分すると２ｔとなってしまい、積分の中身の３ｔになりません。ここで、調整をします。ｔの２乗を微分すると、２がｔの左に現れてしまうので、２がなくなって代わりに３があらわれるように定数を置いておけば良いのです。2分の3をｔの２乗の左に置いておけば良いです。したがって、
答
$$ \int 3t dt =\frac{3}{2}t^2 +C (Cは積分定数)$$
(２分の３ｔの２乗を微分するとたしかに３ｔとなります。今の例のように、定数倍はいったん放置してまず文字の部分に注目し、微分するとその文字が
現れるものを決めてからその後定数倍を調整するとうまくいきやすいです。）
問題３
次の不定積分を計算してください。
$$ \int x^2 dx $$
ｘで微分するとｘ２乗が出てくるのは何かなあと思い出すと、ｘ３乗がありました。ただ、ｘ３乗を微分すると３ｘ２乗と、３がついてきてしまいます。
単なるｘ２乗にするために、３分の１を左においておけば、３はなくなってくれます。
$$ \int x^2 dx =\frac{1}{3}x^3 +C \ (Cは積分定数) $$
(たしかめ算として３分の１ｘ３乗を微分するとｘ２乗に、たしかになります。）
問題４
次の不定積分を計算してください。
$$\int (2x^2 +1)dx $$
積分の中身が和になっている（＋でつながれている）ときは、微分の時もそれぞれ微分すればよかったのと同じく、それぞれ積分していけばよいです。
書く必要は必ずしもないですが、
$$ \int 2x^2 dx +\int dx$$
となります。中身が１のときは略しても構いません。
２ｘの２乗の積分について、微分してｘの２乗が現れるのはｘの３乗、定数倍を調整して３分の２ｘ３乗となります。
１の積分はｘでいいですね。
答
$$ \int (2x^2 +1)dx=\frac{2}{3}x^3 +x +C \ (Cは積分定数）$$
問題５
次の不定積分を計算してください。
$$\int 2t dt +\int 3t dt $$
問題４で中身が足し算になっているものは、それぞれに分けて計算すればよいことを紹介しました。
逆に、積分が足し算で分けられているものをひとつの積分にまとめても良いのです。つまり、次のように変形できます。
$$ \int (2t +3t)dt =\int 5t dt $$
すると、中身は通常の足し算でまとめることができて結局５ｔを積分すればよいことになります。微分してｔが出てくるのは、ｔの２乗。定数倍を調整して
答
$$ \int 2t dt +\int 3t dt =\int 5t dt =\frac{5}{2}t^2 +C \ (Cは積分定数)$$
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